UN ESERCIZIO CON "COMPORRE"

 Gentilissimi e, ovviamente, gentilissime,

dopo un tour de force, in concomitanza con il Tour de France, e un’operazione all’anca, sono tornata a salutare i miei nipotini.

Per caso, non Domenico, ecco che il buon Jack No Sparrow chiede informazioni sulla proprietà delle proporzioni detta “comporre” e la sua viceversa detta “scomporre”.

Vediamo un poco l’esercizio proposto:

x : (5/4 – x) = 5/9 : 5/18

Il secondo termine della proporzione contiene una differenza: (5/4 – x).

Il sottraendo della differenza è l’incognita. Applichiamo la “proprietà viceversa”: “se c’è un meno, faccio il più”. In termini maggiormente matematici, sommo ogni antecedente con il suo conseguente. Ecco cosa si ottiene (MI RACCOMANDO LE PARENTESI a entrambi i conseguenti):

x : (x + 5/4 – x) = 5/9 : (5/9 + 5/18)

al secondo termine, ora, abbiamo una addizione algebrica. Possiamo applicare la commutativa della addizione:

x : (5/4 +x -x) = 5/9 : (5/9 + 5/18)

nel secondo termine, alla frazione 5/4 è stato aggiunto e sottratto lo stesso numero x. Il risultato, tra parentesi, sarà proprio 5/4

x : 5/4 = 5/9 : (5/9 + 5/18)

Risolviamo l’addizione al quarto termine:

x : 5/4 = 5/9 : (15/18)

Riduciamo ai minimi termini 15/18

X : 5/4 = 5/9 : 5/6

Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: “prodotto estremi uguale prodotto medi”

5/6 x = (5/4)(5/9)

5/6 x = 25/36

Come dicono le Vostre nonne: “Se a sinistra ho una moltiplicazione, a destra devo fare la divisione, e viceversa”

x = 25/36 : 5/6

“Cosmizzo il divisore 5/6” (e se non sapete chi è Cosmo, dovrete comperarVi un cappellino rosa!)

x = (25/36) (6/5)

semplifico la moltiplicazione

x = 5/6

Ed ora tocca a Voi! Se volete potrete inviare le Vostre soluzioni come commento:

a)        (3/5 – x ) : x = 2/3 : 1/10

b)      7/4 : 3/2 = (3/4 + x) : x

NR, Nonna Rifatta (all’anca!)

M.C.D.

 

M.C.D.

(1)x2 ³X5 ²X7

COSA SIGNIFICA M.C.D.?

M. = MASSIMO, cioè?  “Il maggiore”

C. = COMUNE, cioè? “Che vale per tutti i numeri considerati”

D. = DIVISORE, cioè? “Sottomultiplo”

Quindi M.C.D. è IL SOTTOMULTIPLO MAGGIORE VALIDO PER TUTTI I NUMERI CONSIDERATI.

Come si trova?

Semplicemente

1)    Si fanno gli elenchi dei divisori di ogni numero

2)    Si osservano i numeri che sono uguali in TUTTI gli elenchi

3)    Si considera il numero maggiore

4)    Si scrive il risultato, CON I NUMERI DI PARTENZA INDICATI IN ORDINE CRESCENTE

Facciamo un esempio: qual è il M.C.D. tra 24 e 28?

(I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

1)    Facciamo gli elenchi

D(24) = [(1);2;3;4;6;8;12;(24)]

D(28) = [(1);2;4;7;14;(28)]

2)    Cerchiamo quelli uguali nei due elenchi

D(24) = [(1);2;3;4;6;8;12;(24)]

D(28) = [(1);2;4;7;14;(28)]

Quindi: 1;2;4

3)    Qual è il maggiore? 4

4)    M.C.D. (24;28) = 4   (I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

SE IL M.C.D. FOSSE 1, ALLORA I NUMERI DI PARTENZA SONO DETTI “PRIMI TRA LORO”. OVVIAMENTE SE CERCHIAMO IL M.C.D. TRA DUE  NUMERI PRIMI, FACILMENTE SI CAPISCE CHE SIA 1.

MA ATTENTI!!!

M.C.D. TRA DUE PRIMI E’ 1.

MA NON E’ VERO IL VICEVERSA.

SE M.C.D. E’ 1, NON E’ DETTO CHE I NUMERI DI PARTENZA SIANO PRIMI

FACCIAMO UN ESEMPIO:

Troviamo M.C.D. tra 18 e 35

1)    Facciamo gli elenchi dei divisori

D(18) = [(1);2;3;6;9;(18)]

D(35) = [(1);5;7;(35)]

2)    Troviamo i divisori in comune

D(18) = [(1);2;3;6;9;(18)]

D(35) = [(1);5;7;(35)]

Quindi: 1

3)    Qual è il maggiore? 1, c’è solo quello!

4)    Scriviamo il risultato:

M.C.D. (18;35) = 1 (I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

In altre parole: SE M.C.D. E’ 1, NON SAPPIAMO SE I NUMERI SONO PRIMI, MA SICURAMENTE SONO “PRIMI TRA LORO”

COMPITO

·       TROVA M.C.D. TRA I NUMERI 42 E 40

(I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

·       TROVA M.C.D. TRA I NUMERI 16 E 81

·       TROVA M.C.D. TRA I NUMERI 17 E 53

FACOLTATIVO MISTERO MISTERIOSO

PERCHE’ AD INIZIO APPUNTI HO SCRITTO

(1)x2 ³X5 ²X7 ?

pi greco

IL PI GRECO ϖ

COS’E’ IL PI GRECO ϖ?

1)      E’ UN NUMERO ASSOLUTO DECIMALE IRRAZIONALE TRASCENDENTE APERIODICO

N-A-D-I-T-A

NUMERO: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679… CIRCA

ASSOLUTO: E’ “PROPRIO QUELLO E NON UN ALTRO”, QUINDI “E’ PRECISO!”, “E’ COSTANTE”!

DECIMALE: HA LA VIRGOLA E NON E’ UN INTERO

IRRAZIONALE: NON E’ UNA FRAZIONE

TRASCENDENTE: NON SI TROVA COME RISULTATO DI UNA EQUAZIONE CON COEFFICIENTI RAZIONALI

APERIODICO: NON HA ALCUN PERIODO

2)    E’ IL RAPPORTO TRA CIRCONFERENZA E DIAMETRO.

OPPURE

E’ IL RAPPORTO TRA AREA DEL CERCHIO E RADICE QUADRATA DEL RAGGIO.

QUINDI

ϖ = C/d          OPPURE       ϖ = Ac/√r

DALLA DEFINIZIONE DI PI GRECO POSSIAMO RICAVARE LE FORMULE PRINCIPALI DEL CERCHIO E DELLA CIRCONFERENZA:

LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA

C = d ϖ u  OPPURE   C = 2 r ϖ  u

INFATTI IL DIAMETRO E’ IL DOPPIO DEL RAGGIO (d = 2 r)

AREA DEL CERCHIO

Ac = r² ϖ u²

OPPURE 

Ac = (d/2)² ϖ u² QUESTA FORMULA SI USA RARAMENTE

APPROSSIMAZIONI DI PI GRECO E LORO UTILIZZO

ϖ NON E’ 3,14 !!!

APPROSSIMAZIONE ϖ ~	UTILIZZO
3	NEL MONDO ANTICO E NELLA BIBBIA
3,1	PER CALCOLI VELOCI, SENZA CALCOLATRICE, O SE IL RAGGIO E’ MULTIPLO DI 10
3,14	SE IL RAGGIO O IL DIAMETRO SONO MULTIPLI DI 100
22/7	SE IL RAGGIO O IL DIAMETRO E’ UN MULTIPLO DI 7 M(7)
3,14159	SE SI HA LA CALCOLATRICE, IN ARCHITETTURA O IN INGEGNERIA
223/71	APPROSSIMAZIONE DI ARCHIMEDE
355/113	APPROSSIMAZIONE DI ZU CHONGZHI, NELLA CINA ANTICA

^{SE SI APPROSSIMA SI DEVE METTERE SEMPRE IL SIMBOLO “~”}

^{VI LASCIO ANCHE UNA ESPRESSIONE CHE, PER ME, E’ “BELLA”}

SCRITTA IN UN ALTRO MODO (PIU’ FACILE)

 ϖ = 4(+1/1 -1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …)

1)               SI METTE ϖ = 4 “PER”;

2)               SI APRE UNA TONDA;

3)               SI SCRIVONO LE UNITA’ FRAZIONARIE CON DENOMINATORE DISPARI

4)               SI ALTERNANO I SEGNI PIU’ E MENO, PARTENDO DAL PIU’

5)               SI METTONO I TRE PUNTINI PER DIRE CHE SI PUO’ PROSEGUIRE ALL’INFINITO

TALE MODALITA’ DI ESPRIMERE IL PI GRECO E’ DETTA

FORMULA DI MADHAVA-LEIBNIZ

1° COMPITO

DISEGNA UN CERCHIO DI CENTRO O E RAGGIO 2 cm. DISEGNA IL RAGGIO OA. DISEGNA IL DIAMETRO AB. DAL PUNTO A, TRACCIA UN SEGMENTO AC PERPENDICOLARE AL RAGGIO OA E DI LUNGHEZZA PARI AL DIAMETRO. CALCOLA LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO BC. NON APPROSSIMARE!

2° COMPITO

ESEMPIO:

SIA DATO UN CERCHIO DI RAGGIO OA CHE MISURA 13 CM. CALCOLA LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E L’AREA DEL CERCHIO.

F-A-S-C-R-U

C = 2 r ϖ u                  Ac = r² ϖ u²

C = 2 OA ϖ cm             Ac = OA² ϖ cm²

C = 2 · 13 ϖ cm            Ac = 13² ϖ cm²

C = 26 ϖ cm                 Ac = 169 ϖ cm²

NON SONO NEI CASI DI APPROSSIMAZIONE INDICATI IN TABELLA, QUINDI

NON APPROSSIMO PI GRECO!!!

ED ORA A VOI!

SIA DATO UN CERCHIO DI RAGGIO OA CHE MISURA 7 CM. CALCOLA LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E L’AREA DEL CERCHIO.

(SONO NEI CASI INDICATI IN TABELLA? SE SI’, QUALE APPROSSIMAZIONE DOVRO’ USARE?)

RICORDA DI NON METTERE IL SEGNO “=” QUANDO APPROSSIMI, 

MA METTI IL SEGNO “~” 

O 

       

NR, Nonna Raggio (forse più circonferenza che raggio!)

m.c.m. (primo metodo per elencazione)

m.c.m.

COSA SIGNIFICA m.c.m.?

m. = minimo, cioè?  “Il minore”

c. = comune, cioè? “Che vale per tutti i numeri considerati”

m. = multiplo, cioè? “presente nella tabellina considerata”

Quindi m.c.m. è 

IL MINORE NUMERO PRESENTE NELLE TABELLINE E VALIDO PER TUTTI I NUMERI CONSIDERATI.

Come si trova?

QUESTA VOLTA NON semplicemente. Il procedimento è complesso.

1)    Si fanno gli elenchi dei MULTIPLI di ogni numero. IN COLONNA AUSILIARIA, MI RACCOMANDO

PER TROVARE m.c.m. DEVO PROSEGUIRE SINO A QUANDO TROVO UN NUMERO CHE SIA LO STESSO NELLE TABELLINE CONSIDERATE!!!

Usate pure la calcolatrice!

METTETE, ANCHE IN COLONNA AUSILIARIA, I TRE PUNTINI!

I MULTIPLI DI UN NUMERO SONO INFINITI!!!

2)    Si osservano i numeri che sono uguali in TUTTI gli elenchi

3)    Si considera il numero MINORE

4)    Si scrive il risultato, CON I NUMERI DI PARTENZA INDICATI IN ORDINE CRESCENTE

Facciamo un esempio: qual è il m.c.m. tra 20 e 24?

(I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

SE NON LO SONO, DEVO ORDINARE I NUMERI ASSEGNATI, MI RACCOMANDO!

1)    Facciamo gli elenchi

M(20) = [20;40;60;80;100;120; …]

C.A. 20X1=20     20X2=40    20X3=60    20X4=80    20X5=100 20X6=120 …

M(24) = [24; 48; 72; 96; 120; 144; …]

C.A. 24X1=24     24X2=48    24X3=72    24x4=96    24x5=120 …

2)    Cerchiamo quelli uguali nei due elenchi

HO TROVATO UN NUMERO CHE SIA LO STESSO NELLE DUE TABELLINE?

CERTO!               E’ IL 120.

E’ IL PRIMO NUMERO “UGUALE” E PRESENTE IN TUTTE LE TABELLINE CONSIDERATE?

CERTO!

QUINDI TUTTI I M(120) SARANNO PRESENTI IN ENTRAMBE LE TABELLINE CONSIDERATE

FACCIO LA C.A. (“VERSIONE NORMALE”) PER M(120)

C.A. 120X1=120          120X2=240         120X3=360         …

MI RACCOMANDO, QUANDO SI CALCOLANO I MULTIPLI, SEMPRE I TRE PUNTINI

M(120) = [120;240;360; …]

3)    Qual è il minoore?

OVVIAMENTE 120

4)    m.c.m. (20;24) = 120   (I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

COMPITO

·       TROVA m.c.m. TRA I NUMERI 8 E 6

(I NUMERI ASSEGNATI SONO IN ORDINE CRESCENTE?)

·       TROVA m.c.m. TRA I NUMERI 12 E 16

FACOLTATIVO MISTERO MISTERIOSO

PERCHE’ GIULIO CESARE POTEVA ESSERE, IN DISTOPIA, A BORDO DEL DIRIGIBILE ZEPPELIN LZ 1?

PER “DISTOPIA” SI INTENDE UN FUTURO POSSIBILE, MA “NEGATIVO” NON PROPRIAMENTE FELICE, PER IL PERSONAGGIO, IN QUESTO CASO GIULIO CESARE, IN QUESTIONE.

RISPOSTE AL NONNO

Gentilissimi e gentilissime, nel presente post si correggono alcune risposte a domande teoriche di statistica.
Il rispondente è il Nonno non so la matematica.
E se non sapete dove sono nascoste le domande, e, tuttavia, sono ben visibili, inviate pure richiesta in merito.
Sappiate che le Vostre Nonne potrebbero farne altre. Non crediate che, rispondendo a queste, si possa rispondere a tutte quelle possibili in merito.
Procediamo con le risposte al Nonno:

11) In ambito scientifico, in particolare naturalistico e mineralogico
18) è un areogramma che serve per ....
19) è il valore che divide esattamente a metà il campione
21) eliminando, dopo averli ordinati, contemporaneamente i valori estremi sino a quando ...
23) curva "a sigma", o, meglio, "sigmoidale"

Certo che questo Nonno, per non sapere la matematica, non è per nulla male!!!

NR, Nonna Rispondente

numeri divisibili per 11 (cl.1) - un trucco da poco

Gentilissime e gentilissimi,

come possiamo “trasformare” un numero NON divisibile per 11 in un numero che si possa dividere per 11?

Ovviamente con “un trucco”.

Facciamo un esempio:

consideriamo il numero 39874903

·         Trascriviamo il numero, separandone le cifre:

3    9     8    7    4    9    0     3

·         Evidenziamo le cifre in “posizione dispari”, ossia unità, centinaia, decine di migliaia, …

3    9     8    7    4    9    0     3

·         Evidenziamo, in altro modo, le cifre in “posizione pari”, ossia decine, unità di migliaia, centinaia di migliaia, …

3    9     8    7    4    9    0     3

·         Sommiamo le cifre evidenziate in rosso:

9 + 7 + 9 + 3 = 28

·         Sommiamo le cifre evidenziate in verde:

3 + 8 + 4 + 0 = 15

·         Consideriamo quale delle due somme così trovate sia maggiore. In questo caso 28 > 15. Effettuiamo la sottrazione possibile in N:

28 – 15 = 13

·         Consideriamo ora la differenza così trovata. In questo caso abbiamo ottenuto un numero che non è NÉ ZERO (0) E, NEPPURE, UN MULTIPLO DI 11 (M(11)). Se avviene questo, allora significa che il numero di partenza NON E’ DIVISIBILE PER 11.

·         Come facciamo a “trasformare” il numero di partenza in un numero divisibile per 11?

Dovremmo fare in modo che il numero in verde, ossia il sottraendo, sia un poco “più grande”. Di quanto dovremmo aumentare il numero verde?

Ragioniamo: se ho ottenuto una differenza di 13, e dovevamo ottenere una differenza di 11, significa che devo aumentare di 2!

Se così fosse otterremmo 28-17=11

Come volevamo ad inizio procedimento!

Si tratta di “aggiungere” una cifra 2 tra quelle in verde! Ecco nuovamente il numero di partenza:

3    9     8    7    4    9    0     3

Dove possiamo “aggiungere” una cifra in verde? In questo caso, sicuramente, NON a sinistra. Altrimenti ci troveremmo con due cifre in verde consecutive!

Se, invece, “aggiungiamo” la cifra 2 a destra, avremmo rispettato il procedimento. Scriviamo il 2 a destra, come vedete sotto:

3    9     8    7    4    9    0     3    2

·         Ora, se volete, potete ricontrollare per conto Vostro!

NR, Nonna Ragionante, almeno per ora!