divisione tra numeri relativi

Gentilissimi,
continuiamo la nostra, e, speriamo, anche Vostra, discussione sulle procedure di calcolo con i numeri relativi. Come si eseguono le divisioni?
Abbiamo presentato, nella moltiplicazione, una sorta di "tabella dei segni". Essa è valida anche per la divisione:
(+) (+) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -
(-) (-) = +
Tale "tabella" è valida pure per la divisione. Dalla classe prima sapete che la divisione si può classificare in due modi. La divisione può essere o esatta (divisione propria), in cui non c'è resto, ed il risultato è detto anche quoto. La divisione può avere resto, ed allora il risultato quoziente non può essere detto quoto. In questo ultimo caso, come ricorderete dalla seconda, l'operazione può essere trasformata in frazione.
Facciamo un esempio:
(-12) : (+3) =
Se non dovessimo considerare il segno, si tratterebbe di una divisione esatta, con quoto. Il quoto sarebbe 4. Applicando la "regola della tabella dei segni", potremmo pure dire che il segno del risultato dovrebbe essere "-". Quindi: (-12) : (+3) = -4.
Un consiglio: è opportuno dapprima indicare il segno e, successivamente, indicare il valore assoluto, o modulo, del risultato. Se così allora, con un altro esempio:
(-20) : (-4) = +5 in quanto, dalla "tabella", (-) (-) = +. Il modulo è dato dalla divisione tra i moduli 20:4 = 5.
E se la divisione non è esatta, ossia, se la divisione ha un resto? Vediamo con un esempio:
(+12) : (-7) =
Per quanto detto in precedenza, il segno del risultato sarà "-". Trasformiamo il dividendo in numeratore e il divisore in denominatore. Mettiamo, davanti alla linea di frazione il segno corretto. Quindi (+12) : (-7) diventa una frazione con segno "-": - 12/7. Allora (+12) : (-7) = - 12/7. Se possibile, è "quasi obbligatorio" ridurre tale frazione ai minimi termini.
In futuro, quando possibile, un post sulla risoluzione dei calcoli con potenze e numeri relativi. NR

proprietà delle quattro operazioni - proprietà associativa

Gentilissimi, come detto in un post precedente, proviamo ad analizzare le proprietà delle quattro operazioni. Sia la moltiplicazione sia l'addizione hanno proprietà associativa. Come già indicato, associare significa mettere assieme per uno scopo, con una finalità. Quel potrebbe essere lo scopo di associare numeri? Se riportiamo tale considerazione alle parole, allora, quale potrebbe essere lo scopo di associare parole? Forse comunicare con le altre persone? Scrivere un libro? Commentare un blog? Vedete che, come sempre, le finalità sono diverse, in base al contesto di riferimento. E come si "associa"? Proviamo con le parole. Se, ad esempio, consideriamo due parole: "MANI" e "CHINO", potremmo associarle, ossia, metterle assieme. Se scriviamo tali parole consecutivamente otterremo MANI CHINO, ossia MANICHINO. Per mettere assieme i numeri dovremmo "contarli assieme". Possiamo contare con l'operazione di addizione. Possiamo considerare la moltiplicazione come se fosse una addizione ripetuta. Per questo la proprietà associativa è di tali operazioni. Esistono giochi di parole che fanno riferimento alla proprietà associativa. Un esempio di tali giochi è la sciarada. In questo gioco il risultato, detto TUTTO o TOTALE o INTERO, si trova individuando le parti di cui è composto. Nell'esempio precedente (MANI+CHINO = MANICHINO) prima della sciarada si troverebbe SOL. 4+5 = 9. Questa scrittura indica che la soluzione è formata da una parola di 9 lettere, mentre la prima parte è formata da 4 lettere e la seconda da 5 lettere. Messe assieme, tali parole formano il tutto. Solitamente la sciarada è proposta in forma poetica, come poesia. Gli enigmisti esperti propongono le sciarade in rima. Personalmente non ne sono capace. Tuttavia Vi propongo un esempio di come potrebbe essere tale sciarada. Ogni sciarada è preceduta da un titolo. In questo caso potrebbe essere:

SICUREZZA IN MOTO (SOL. 4+5 = 9)

Per guidare usa la prima,
piegato, con la seconda, sul volante.
Non preoccuparti se l'intero,
non esce intero dal crash test.

Provo a spiegare: il titolo serve per sviare dalla soluzione corretta. Ho utilizzato i numero ordinali per indicare sia le marce sia le parti della sciarada. "La prima", ossia la prima parola. La prima parola si usa "per guidare". Per guidare si usano le MANI. La parola potrebbe essere, appunto, MANI.
"Piegato sul volante". La seconda parola ricorda un uomo, al maschile ("Piegato"), mentre sta guidando. Potrebbe trattarsi di un sinonimo di "piegato". Uno tra i sinonimi è CHINO. L'intero, ossia la soluzione della sciarada, non esce intero dal crash test. Per il crash test si usa un MANICHINO. Infatti MANI+CHINO=MANICHINO è la soluzione cercata. NR

moltiplicazione con i numeri relativi

Gentilissimi,
le moltiplicazioni con numeri relativi sono, in effetti, molto semplici da risolvere. Se pensiamo alla moltiplicazione come addizione ripetuta, ossia, se stiamo parlando di prodotti omogenei, o prodotto scalare, almeno uno dei due termini DEVE essere positivo. Allora, in questo caso, si tratta di ripetere "più volte" l'altro termine. Quindi, se uno dei termini è positivo, il prodotto avrà, per segno, il segno dell'altro termine.
Vediamo con esempi:
a) (-2) (+3) = -6  in quanto il segno del termine non positivo è negativo
b) (+7) (+4) = + 28 in quanto il segno di uno dei due termini è positivo, quindi il prodotto avrà, come segno, il segno dell'altro termine, anch'esso positivo.
Se, al contrario, uno dei due termini è negativo, allora il segno del prodotto avrà il segno opposto a quello dell'altro termine. Nell'esempio a) il segno del prodotto sarà opposto al segno di (+3), quindi sarà negativo. Vediamo con esempi:
c) (+11) (-6) = -66 in quanto il segno sarà l'opposto del segno di (+11)
d) (-10) (-9) = +90 in quanto il segno sarà l'opposto di (-10)
Più semplicemente si utilizza una "tabella dei segni", in cui:
1) (+) (+) = +
2) (-) (+) = -
3) (+) (-) = -
4) (-) (-) = +
Questa tabella è di facile comprensione:
1) l'affermazione di una affermazione è una affermazione: "ti ho detto di sì", quindi è SI
2) la negazione di una affermazione è una negazione: "non ti ho detto di sì", quindi è NO
3) l'affermazione di una negazione è una negazione: "ti ho detto di no", quindi è NO
4) la negazione di una negazione è una affermazione: "non ti ho detto di no", quindi è SI.
Attenti: quanto è stato asserito nelle righe precedenti, può valere per la matematica, tuttavia non è detto che valga SEMPRE per la vita. Se un ragazzo si dichiara ad una ragazza, ed ella risponde: "Non ti ho detto di no!", non è garantito che la risposta sia "Sì!". E' vero che, in questi tempi, sono le ragazze che, a volte si dichiarano, ma il ragionamento non cambia.
Un ulteriore consiglio per la moltiplicazione: controllate sempre il numero di fattori negativi! Se tale numero è pari, mettete, come segno del prodotto il segno "+", se tale numero è dispari, mettete, come segno del prodotto "-".
Per trovare il segno nelle divisioni si seguono le medesime procedure e gli stessi discorsi.
Per la divisione lascerò, se riesco, un futuro post. NR

uno schema di risoluzione per problemi

Gentilissimi,
come si risolvono i problemi? Penso piacerebbe a tutti saperlo! L'unica cosa che una nonna può fare, oltre al solito consiglio di esercitarsi, è quella di proporVi uno schema, passo dopo passo, dei passaggi opportuni per sviluppare, potenziare o consolidare il PROPRIO metodo di risoluzione. Qualche decennio fa, nei libri di testo di Matematica per la scuola media, venivano proposti alcuni tra i differenti metodi per la risoluzione dei problemi, solitamente aritmetici. In seguito, a mio avviso giustamente, si è puntato maggiormente sulle strategie risolutive. Ora, sempre secondo la mia opinione, risulta maggiormente significativo giungere alla soluzione corretta. Non so rispondere alla domanda se sia più utile puntare al metodo, alla strategia o al risultato. Se siete interessati agli aspetti pedagogici, didattici, educativi, sappiate che in rete si trova materiale, anche divulgativo, maggiormente aggiornato di una vecchia signora di cui conoscete il nome. Per oggi Vi proporrò un "elenco-agenda", ossia una lista delle "cose da fare" per risolvere problemi:
1) leggere il testo del problema
2) suddividere il problema in parti
3) selezionare i dati a disposizione
4) individuare la richiesta
5) scegliere un opportuno metodo risolutivo
6) applicare correttamente il metodo scelto
7) controllare i passaggi precedenti
8) rispondere, ove possibile, alla richiesta
9) valutare la risposta data
10) effettuare un ulteriore controllo di feedback
Sicuramente i termini utilizzati sono poco adeguati, non sempre ben chiari o accurati. Del resto stiamo proponendo un blog di matematica, e non un trattato di didattica matematica (non credo ne avrei le competenze).
Analizziamo il "decalogo" del provetto "problemizzatore":
1) la lettura del testo è sicuramente importante. Per migliorare la comprensione del testo di un problema, Vi suggerisco di leggere libri. Attenzione! Ho detto libri, non fumetti, e-book, pdf, film, quotidiani, riviste. Libri! Scegliete quelli che preferite, del genere e/o dell'autore preferito. Migliorerete la comprensione del testo, anche dei problemi. Se non comprendete alcuni termini, utilizzate un buon vocabolario, possibilmente cartaceo. Sappiate che non ho difficoltà a proporre letture di e-book et similia. Tuttavia un buon libro è un buon consiglio. Provate a realizzare un Vostro vocabolario personale, riportando, magari su rubrica, i vocaboli di cui non conoscete il significato. Se necessario, rileggete il testo. Provate, se ancora non avete ben compreso, ad immedesimarVi nella situazione problematica. Provate Voi a diventare "protagonista del problema". Cambiate pure il contesto. Cercate di non modificare i dati presenti e di non modificare la richiesta, sempre se riuscite.
Una spiegazione del punto 2) sarà proposta in un futuro post (se riesco!). NR

TEORIA DELLE FRAZIONI

Gentilissimi,
ecco, per Voi, un plausibile elenco con alcune domande sulle frazioni. In particolare potrebbero essere poste in una verifica di teoria. Oltre a queste domande, se pensate sia utile, ne presenterò altre, in un futuro post. Sappiate che sono possibili altri quesiti, oltre ai seguenti. Quindi, il solito consiglio: "studiate"!

1)     INDICA LA PROPRIETA’ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI

2)     APPLICA LA PROPRIETA’ INVARIANTIVA ALLA FRAZIONE 15/16

3)     SPIEGA QUANDO UNA FRAZIONE E’ PROPRIA

4)     SPIEGA QUANDO UNA FRAZIONE E’ APPARENTE

5)     SPIEGA QUANDO UNA FRAZIONE E’ IMPROPRIA

6)     FAI ALMENO UN ESEMPIO CORRETTO DI FRAZIONE PROPRIA

7)     FAI ALMENO UN ESEMPIO CORRETTO DI FRAZIONE IMPROPRIA

8)     FAI ALMENO UN ESEMPIO CORRETTO DI FRAZIONE APPARENTE
9)     A COSA SERVONO LE FRAZIONI?

10)  COSA SI INTENDE CON UNITA’ FRAZIONARIA?

11)  COSA SI INTENDE CON “RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI”?

12)  COSA E’ IL DENOMINATORE?
13)  OPERANDO CON  4/8 SU UN SEGMENTO, QUALE SEGMENTO OTTENGO?

14)  COSA SIGNIFICA NUMERATORE?

15)  0/7= …

16)  8/0= …

17)  0/0= …
18)  COSA SI INTENDE CON FRAZIONI EQUIVALENTI?
19)  INDICA UNA FRAZIONE EQUIVALENTE A 3/5

20)  COSA SI INTENDE CON FRAZIONE COMPLEMENTARE?

21)  FAI UN ESEMPIO DI FRAZIONI COMPLEMENTARI

22)  …/ 6                     COMPLETA E SCRIVI UNA FRAZIONE PROPRIA

23)  …/14                   COMPLETA E SCRIVI UNA FRAZIONE APPARENTE

24)   …/ 11                  COMPLETA E SCRIVI UNA FRAZIONE IMPROPRIA

25)        12/…                   COMPLETA E SCRIVI UNA FRAZIONE APPARENTE

26)             15/…                    COMPLETA E SCRIVI UNA FRAZIONE IMPROPRIA

27)            7/…                      COMPLETA E SCRIVI UNA FRAZIONE PROPRIA

28)  COSA SI INTENDE CON FRAZIONE INVERSA RISPETTO AD UNA FRAZIONE DATA?

29)  SCRIVI LA FRAZIONE RECIPROCA DI 4/5

30)  RIDUCI AI MINIMI TERMINI LA FRAZIONE 27/15

La nonna delle trenta domande! NR

si tratta di una espressione o di una addizione algebrica?

Gentilissimi,
eccoVi un quesito di poco conto. Osservate la scrittura seguente:

-[3-(-5+2-7)-(-2+4)]  =

Quella che abbiamo di fronte è un'espressione con i numeri relativi, oppure si tratta di una addizione algebrica? In molti libri di testo, per non far torto a nessuno, tali scritture vengono chiamate espressioni con addizioni algebriche. Cosa si intende con ciò? Poiché ogni espressione può essere considerata la risoluzione di un problema, allora ogni scrittura di questo tipo "nasconde" una problema, con relativo testo. Osserviamo meglio: vedo due parentesi tonde. Si potrebbe pure pensare che, in una addizione algebrica, sia stata applicata la proprietà associativa, oppure, secondo un altro punto di vista, la proprietà dissociativa. Appare evidente che, poiché i casi considerati sono due, altrettanti debbano essere le modalità di risoluzione. Analizzando il primo punto di vista: non vi sono moltiplicazioni, divisioni, radici, potenze. Risolveremo parentesi dopo parentesi:
a) -[3-(-5+2-7)-(-2+4)]  = Risolviamo le tonde ed inseriamo gli eventuali segni mancanti. Lasciamo i risultati delle tonde
b) -[+3-(-10)-(+2)] =  Successivamente, se precedute dal segno meno, cambiamo segno alle somme interne alle tonde. Togliamo le tonde stesse
c)  -[+3+10-2] = risolviamo le quadre. Lasciamo i risultati nelle quadre
d) -[+11] = Successivamente, se precedute dal segno meno, cambiamo segno alle somme interne alle quadre. Togliamo le quadre stesse
e) -11 Se ci fossero parentesi graffe, procediamo come sopra. RicordateVi di elidere sempre i termini opposti contenuti nella medesima parentesi.
Analizzando il secondo punto di vista: poiché non vi sono moltiplicazioni, divisioni, radici, potenze, allora si tratta di una addizione algebrica, con parentesi. Se, in una addizione algebrica, gli addendi hanno parentesi preceduta dal segno meno, posso cambiare segno agli addendi stessi. Togliendo contemporaneamente sia la parentesi sia il segno che precede la parentesi stessa:
a) -[3-(-5+2-7)-(-2+4)]  = Cambiamo segno, ove le tonde siano precedute dal segno meno, a tutti gli addendi all'interno delle tonde. In questo caso entrambe le parentesi sono precedute dal segno meno.
b) -[3+5-2+7+2-4] = Osservate che, nella medesima quadrata si trovano i termini opposti (-2) e (+2). Elidiamoli
c) -[3+5+7-4] = Cambiamo segno agli addendi interni alla quadra, poiché tale parentesi è preceduta dal segno meno. RicordateVi che il numero 3 ha, come segno sottinteso, il segno +
d) -3-5-7+4 = Risolviamo la addizione algebrica
e) -11
Quale dei due metodi Vi sembra più adeguato a Voi. Per capirlo, fate esercizi. Provate ad utilizzare entrambi i metodi. Se, con uno dei due, fate meno errori, utilizzate sempre quello.
Una nonna espressiva! : - )- NR

addizione algebrica in Q (con frazioni)

Gentilissimi,
passiamo alle frazioni. Ricordate che il ragionamento, per questi calcoli, non varia di molto. Indichiamo, dapprima, i passaggi principali. Un consiglio: nei primi esercizi, e sino a quando non siete ben sicuri di non sbagliare, o meglio, i Vostri errori scendono drasticamente sotto quota 1-2%, seguite i passaggi sotto indicati. Faremo un solo esempio, in quanto altri esempi sarebbero un poco noiosi.
(-2/3) - (+3/5) =
a) come primo passaggio, proviamo, per quanto detto in precedenza, a trasformare l'addizione algebrica. Prima del secondo addendo si trova un segno "-". Per questo motivo possiamo scrivere: -2/3 -3/5;
b) ora troviamo il minimo comun denominatore. Appare evidente sia 15;
c) tracciamo la linea di frazione. Scriviamo al numeratore, lasciando spazi adeguati i segni degli addendi;
d) al denominatore scriviamo 15. L'addizione algebrica diventa così scritta:
    - .........  - .........
__________________  ;
                15
e) risolviamo, ora, considerando i soli valori assoluti, ossia come se i segni "non ci fossero". Al numeratore avremo, di conseguenza, per il primo addendo, 15:3x2, ossia 10. Al secondo termine avremo 15:5x3, ossia, dopo aver svolto i dovuti calcoli, 9;
f) ora potremo scrivere, così
- 10 - 9
______  = .....;
     15
g) a questo punto, dopo il segno di uguale, lasciamo uno spazio e tracciamo la linea di frazione. Al denominatore trascriviamo 15. Otterremo quanto segue

- 10 - 9                 .......
______  =   ...     _____ ;
     15                     15
h) calcoliamo, ora, il numeratore. RicordateVi gli esempi fatti in precedenza. -10-9 = -19. Scriviamo il segno davanti alla linea di frazione e il valore assoluto sopra alla linea di frazione. In seguito, se la frazione è riducibile ai minimi termini, trovate la frazione irriducibile, o, come si diceva una volta, "semplificate" la frazione. Otterremo:

- 10 - 9               19
______  =   -    _____ ;
     15                  15
- 19/15 è il risultato trovato. Prestate particolare attenzione a NON mettere il segno sia davanti alla linea di frazione sia sulla linea di frazione.
Una nonna Q, ovviamente "cicciuta". NR

calcolo con i numeri relativi (addizione algebrica - quinta parte)

Gentilissimi, prima di passare alle frazioni Vi propongo un ultimo gruppo di operazioni di addizione algebrica con interi relativi, o, per gli amici, utilizzando numeri in Z "cicciuta". Strano modo di dire, nevvero? Passiamo agli esempi:
X) (-3) - (+8) =
Y) (-13) - (+5) =
W) (+9) - (-4) =
Z) (+12) - (-21) =
X) nel primo tempo siamo sotto di 3 goal, ma, nel secondo tempo, ci annullano 8 goal che abbiamo fatto. Già detta così, a tutti gli effetti, non è una situazione positiva. Vediamo un poco: se, ad esempio, il risultato fosse, nel primo tempo, di 23-20, ovviamente a nostro svantaggio, nel secondo tempo, con 8 goal annullati alla nostra squadra, il risultato sarebbe 23-12. Aumenterebbe il passivo. Quindi possiamo dire che: (-3) - (+8) = -11;
Y) nel primo tempo siamo sotto di 13 goal, ma, nel secondo tempo, annullano 5 goal alla nostra squadra. Anche in questo incontro la situazione peggiora. Con un esempio: se il risultato fosse di 20-7, per l'altra squadra, nel secondo tempo sarebbe, con 5 goal annullati a noi, di 20-2, con un peggioramento ulteriore. Quindi possiamo dire che: (-13) - (+5) = -18;
W) in questo incontro stiamo vincendo nel primo tempo, ma, nel secondo tempo, annullano 4 goal agli avversari. Con un esempio: 15-6, in nostro favore, nel primo tempo e, con 4 goal annullati ai nostri avversari, la partita termina con un risultato di 15-2. Quindi: (+9) - (-4) = +13;
Z) anche in questo incontro siamo in vantaggio nel primo tempo, ma, nel secondo tempo, annullano 21 goal ai nostri avversari. Con un esempio: stiamo vincendo 40-28, e, nel secondo tempo, diventa 40-7, poiché hanno annullato 21 goal agli avversari. Quindi: (+12) - (-21) = +33.

Ora un consiglio: se dovete eseguire una addizione algebrica in cui il secondo termine è in parentesi, preceduto dal segno meno, è come se addizionassimo il termine col segno contrario. Ripeto: "E' come se...". Non è esattamente la stessa cosa, ma il risultato finale è lo stesso. In una partita è diverso se segni goal in più, oppure se, come nei casi W) e Z), l'arbitro annulla goal agli avversari. Vediamo gli ultimi casi in esempio, con il "cambio di segno":
X)  (-3) - (+8) = -3-8 = -11

Y) (-13) - (+5) =-13-5 = -18
W) (+9) - (-4) =+9+4 = +13
Z) (+12) - (-21) =+12+21 = +33.
Per le operazioni di addizione algebrica con i numeri razionali Q, ossia, semplificando, con le frazioni, faremo esempi in un prossimo post.
Una nonna Rosa, ma, il solito ma, non dall'invidia, ma dalla morsa del freddo.

calcoli con i numeri relativi (addizione algebrica - quarta parte)

Gentilissimi, Vi chiedo scusa se non ho potuto terminare ieri. Proseguiamo:

M) nel primo tempo abbiamo un vantaggio di 4 goal, ma, indicato dal segno “-“, nel secondo tempo ci hanno annullato 12 goal, fatti da noi, ossia in precedenza conteggiati. Abbiamo vinto o perso? Se il risultato fosse, nel primo tempo, ad esempio, 21 a 17, ma ci annullassero 12 goal fatti, il nuovo risultato sarebbe 9 a 17. E così, in realtà, abbiamo perso, quindi il risultato, detto somma algebrica, sarà negativo. Inoltre, per quanto detto sopra, siamo in svantaggio di 8 goal. A questo punto possiamo dire che: (+4) – (+12) = -8;

N) in questo incontro stiamo perdendo di 6 goal, ma (sempre lo stesso ma), nel secondo tempo, annullano 13 goal ai nostri avversari. Se il risultato fosse stato, ad esempio, di 15 a 21, ora, dopo l’annullamento dei goal alla squadra avversaria, ossia di goal che abbiamo subito, il risultato sarà 15 a 8. Per cui abbiamo vinto noi. La somma algebrica è positiva. Abbiamo vinto di 7 goal. Quindi: (-6) – (-13) = +7;

P) nel primo tempo siamo sotto di 8, ma (ancora quel “ma”), nel secondo tempo, annullano 3 goal agli avversari. Ne hanno annullati pochi, per la vittoria a nostro favore. Abbiamo sicuramente perso. Di quanto abbiamo perso? Vediamo un poco! Se il risultato fosse stato di 20 a 12, ore sarebbe di 17 a 12. Per cui abbiamo perso di 5 goal. Quindi: (-8) - (-3) = -5.

Con la prossima volta, o con i futuri post, dovremmo terminare l’addizione algebrica a due termini. Sappiate, tuttavia, che il discorso, ed il ragionamento sottostante, non cambia di molto, anche con più termini. Si tratta, semplicemente, di cambiare ed allargare il campo di indagine. In altre parole, non sarà più un discorso su un solo incontro, ma su più partite. E’ come se analizzassimo la differenza reti in un torneo, o in un campionato.

Una stanca nonna!

calcolo con i numeri relativi (addizione algebrica - terza parte)

Gentilissimi,
ecco la terza parte di spiegazione, o quasi, su come si effettuano i calcoli più semplici con i numeri relativi. Prima di iniziare una premessa: se, durante esercizi di calcolo con i numeri relativi, Vi trovate di fronte a quella che potrebbe essere una sottrazione, ricordate che, anch'essa è detta "addizione algebrica". Ed ora gli esempi:
L) (+8) - (+3) =
M) (+4) - (+12) =
N) (-6) - (-13) =
P) (-8) - (-3) =
Ricordiamoci che, sempre per analogia, possiamo considerare, ancora una volta, questi calcoli come se fossero i risultati parziali, oppure i goal di differenza, di una partita di calcio. Cosa succede in questi casi? Il segno "-" indica, o potrebbe indicare, che sono stati annullati alcuni goal. Quali? Vediamo caso per caso:
L) nel primo tempo abbiamo segnato 8 goal in più degli avversari, ma, nel secondo tempo, ci vengono annullati 3 goal fatti. Se, per esempio, il risultato del primo tempo fosse stato 13-5, ci vengono annullati 3 goal. Quindi il nuovo risultato sarebbe 10-5. Nel caso, stavamo vincendo di 8 e, con 3 goal annullati, vinceremo comunque di 5. Il risultato sarà a nostro favore di 5 goal, ossia (+5). Quindi: (+8) - (+3) = +5;
Gli altri casi a domani, se riesco. NR

calcoli con i numeri relativi (addizione algebrica - parte due)

Gentilissimi, continuiamo con le addizioni algebriche coi numeri relativi. Ovviamente facciamo ancora esempi:

E) (-2) + (+7) =

F) (+11) + (-4) =

G) (-13) + (+9) =

H) (+8) + (-21) =

Sempre ragionando per analogia, continuiamo a pensare alla Vostra partita di calcio. Cosa accade in queste partite? Vediamo un poco:

E) nel primo tempo stiamo perdendo di 2 goal, e, nel secondo tempo recuperiamo 7 goal. Abbiamo vinto questo incontro? Sicuramente sì! Di quanti goal abbiamo vinto? Con quanti goal di vantaggio abbiamo vinto? Eravamo sotto di 2  e ne abbiamo realizzati 7 in più. Abbiamo vinto di 5 goal. Quindi possiamo dire che (-2) + (+7) = +5;

F) in questa partita abbiamo dominato nel primo tempo e ci siamo fatti recuperare nel secondo tempo. Tuttavia abbiamo realizzato (+11) 11 goal in più, mentre gli avversari ne hanno recuperati solo 4 (-4). Possiamo essere sicuri di aver vinto. E, ragionando, abbiamo vinto di 7 goal. Possiamo affermare che il risultato è a nostro favore. Quindi (+11) + (-4) = +7;

G) in questa partita sono stati gli avversari a dominare nel primo tempo. Nel secondo tempo abbiamo recuperato. Tuttavia non abbiamo segnato goal a sufficienza per pareggiare o vincere. Infatti eravamo sotto di 13 (-13) e abbiamo recuperato di 9 (+9). Abbiamo perso, e abbiamo perso con 4 goal di scarto. Quindi possiamo dire che (-13) + (+9) = -4;

H) in questo incontro eravamo in vantaggio di 8 goal (+8), ma gli avversari hanno recuperato, nel secondo tempo, ben 21 goal (-21). E’ evidente che abbiamo, ancora una volta, perso. Abbiamo perso di 13 goal. Quindi possiamo affermare che (+8) + (-21) = -13.

Altri esempi, magari con il segno “-“ davanti alla parentesi, nelle prossime occasioni. E ora prepariamo una torta salata! Una nonna affamata!

calcolo con numeri relativi (addizione algebrica - parte uno)

Gentilissimi,
vediamo un poco come si risolvono le operazioni con numeri relativi. Le operazioni che dovreste conoscere sono: addizione e sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice.
A mio avviso, più che una teoria delle operazioni, conviene affrontare l'addizione algebrica come se fosse il risultato di una partita, vedete Voi di quale sport. Facciamo esempi:
A) (+3) + (+7) =                    che possiamo leggere (+3) e (+7) =
B) (+5) + (+2) =
C) (-4) + (-9) =
D) (-11) + (-6) =
Nei casi A,B stiamo sommando valori concordi positivi. E' come se, in una partita di calcio, dicessimo:
A) nel primo tempo sto vincendo di 3 goal (+3) e, che corrisponde al segno "+" tra le parentesi, nel secondo tempo vinco di altri 7 goal (+7). E' evidente che ho vinto questa partita. Ossia il risultato somma avrà segno positivo. Con quanti goal di vantaggio ho vinto questa partita? Se ne avevo 3 di vantaggio nel primo tempo e nel secondo tempo ne segno 7 in più dell'altra squadra, mi sembra evidente che, al termine dell'incontro abbia segnato 10 goal in più, ossia (+10). Quindi (+3) + (+7) = +10. A questo punto possiamo anche sottintendere, nel risultato, il segno "+". Vi consiglio, tuttavia, per evitare dimenticanze, di mettere sempre il segno anche ai risultati;
B) con lo stesso ragionamento possiamo dire di aver vinto anche questa partita. Abbiamo segnato 5 goal in più nel primo tempo e, che, ancora una volta, corrisponde al segno "+" tra le due parentesi, 2 goal in più nel secondo tempo. Quindi (+5) + (+2) = +7;
C) in questo caso ho perso il confronto con gli avversari in entrambi i tempi. Ho perso di 4 goal nel primo, e, il solito "*", di 9 nel secondo tempo. Ho così perso la partita, ossia il risultato avrà segno "-", di 13 goal. Quindi (-4) + (-9) = -13. In questo caso il segno è obbligatorio;
D) anche in questa partita ho subito una sconfitta, perdendo di 11 goal nel primo tempo e (il solito "e") di 6 goal nel secondo tempo. Quindi (-11) + (-6) = -17
Ora breve pausa per esercitarVi.
Se riesco continueremo con le addizioni in un prossimo e, speriamo vicino temporalmente, post.
Una criptica nonna!

frazioni equivalenti

Gentilissimi,
dopo aver ben compreso che le frazioni equivalenti sono infinite, e che il termine "equivalente" non significa "uguale", solo allora e non subito (quindi un poco di ripasso non guasterà), potrete divertirVi con le scimmiette del sito seguente:

http://www.fractionmonkeys.co.uk/activity/

Il livello di difficoltà si complica parzialmente nel succedersi del gioco.

Ecco che, dal nulla, giunge la voce di un alunno: "Ma se il risultato è lo stesso, allora le frazioni 2/4 e 1/2 sono uguali!".

Gentilissimo alunno ipotetico, come pure non ipotetico, proviamo a spiegare con un esempio quanto ho detto alcune righe sopra:

sicuramente 7/10 è equivalente a 700/1000. Non credo che siano possibili dubbi. Ho moltiplicato sia numeratore sia denominatore per uno stesso numero diverso da zero, in questo caso 100. Ho ottenuto una frazione equivalente a quella data. Se ora, concretamente, riportiamo la stessa azione nella vita di tutti i giorni, vedremo che la situazione si complica. Ad una festa di compleanno i ragazzi di seconda media sono 24. La mamma decide di far ripassare le frazioni equivalenti agli invitati. Al posto di dividere la torta in 24 parti ed, in seguito, distribuire le fette di torta, divide la torta in 240 parti, ripromettendosi di distribuire ad ogni invitato 10 pezzettini così ottenuti. A Vostro avviso, il tempo impiegato per la distribuzione sarà "uguale"? E Voi preferireste assaggiare una fetta di torta, oppure preferireste 10 pezzettini di fetta di torta, tanto è "uguale"? Pensateci bene, prima di rispondere! Anche perché oggi è il mio compleanno e non è detto che io Vi inviti (se non "ipoteticamente").

Tanti auguriiiii a meeeeee, tanti auguuuuriiii aaaa meeeeee! Tanti auguuuuriiiiii alllaa nonnnnnaaaaa, tanti auguuuuuriiii aaaaaaa meeeeeeeee! Una nonna di un anno più vecchia (sigh!)

proprietà quattro operazioni (parte 1): introduzione e proprietà commutativa

Gentilissimi,
che complicazione! A cosa serviranno mai le proprietà delle operazioni? Perché bisogna impararle? Quando mai mi serviranno?
Forse le proprietà delle operazioni servono solo per velocizzare il calcolo. Ma allora basta una calcolatrice! O forse servono anche a qualcosa di diverso. A Voi lascio il dubbio e la diatriba.
Partiamo dal significato delle parole e degli aggettivi:
l'addizione ha proprietà commutativa, dissociativa, associativa;
la sottrazione ha proprietà invariantiva;
la divisione ha proprietà invariantiva. Tuttavia è "invariantiva" in un modo diverso dalla "invariantiva della sottrazione". Ha altre proprietà che, per quanto ci riguarda, non consideriamo.
La moltiplicazione ha proprietà come l'addizione. Inoltre ha proprietà distributiva. Le differenze tra distributiva destra e distributiva sinistra lasciamole per ora da parte.
Vediamo il significato di queste parole, con l'uso di un buon vocabolario:
* proprietà: qualità posseduta, precisione, correttezza, diritto, decoro, ordine, eleganza.
* commutativa: da commutare: cambiare, scambiare, permutare, mutare, trasformare.
* associativa: da associare: mettere insieme per uno scopo, mettere in relazione, unirsi, sostenere.
* dissociativa: da dissociare: separare, dividere, staccare, interrompere la collaborazione.
* invariantiva: da invariare: non cambiare, rimanere costante.
Proviamo ad immaginare un ballo, magari ad una festa, con musica, gente che chiacchiera, cibo e bibite di vario tipo. Ad un certo punto, un Vostro amico Vi chiede se sia possibile scambiarsi di posto. In pista (chissà se si dice ancora così?) due ragazzi ballano un rock. Nel bel mezzo della musica la ragazza, che era a sinistra, rispetto a Voi, va a destra. Pure il compagno, che la sta prendendo per mano, passa da destra a sinistra. Questo è bello da vedere, se i due ballano con eleganza, se lo scambio avviene con precisione, con ordine, correttamente. Si dice, infatti, che i due ballano con proprietà.  Ecco che i due ballerini si sono "commutati", hanno cambiato tra loro il proprio posto. Chiamiamo i due ballerini Ada e Bruno. la situazione iniziale è Ada a sinistra e Bruno a destra: ADA   BRUNO. In seguito la situazione è, appunto, commutata: Bruno a sinistra e Ada a destra: BRUNO   ADA. Se tra i due ballerini si vedeva una finestra, la finestra si vede ancora. La situazione, con finestra, diviene: ADA FINESTRA BRUNO, si trasforma in BRUNO FINESTRA ADA. Usando i numeri: 4 + 23 diviene 23 + 4. Facile, non credete?
Una ROSA NONNA, ops! Una NONNA ROSA

soluzione sudoku

Qui di seguito l'oramai antico sudoku completato. Per farVi concentrare meglio la soluzione è in tabella (ovviamente!).

3	6	1	9	2	7	5	8	4
4	9	7	8	6	5	2	1	3
8	5	2	4	3	1	9	7	6
2	7	3	5	8	4	1	6	9
6	1	4	7	9	3	8	2	5
5	8	9	6	1	2	3	4	7
9	2	8	3	7	6	4	5	1
1	4	6	2	5	9	7	3	8
7	3	5	1	4	8	6	9	2